Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Tenim les matrius: A = [ [ 0 , m , 3 ] , [ 1 , 0 , -1 ] , [ 5 , 1 , -(m+1) ] ] y B = [ [ 0 , 1 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 ,0 , 1 ] ]

1. ¿Per a quins valors reals de m és A inversible? Calculeu la matriu A^-1 (2 punts).
2. En la matriu anterior A amb m = 0, obteniu la matriu real quadrada X d'ordre 3 que satisfà la igualtat B - AX = AB (1,3 punts).

Problema 2

Hem de tancar una zona de 400 m² d'un prat i amb un tanca en forma de rectangle. Cada metre de tanca val 100 euros. Si x és la mesura en metres d'un dels costats, es demana:

1. Obteniu raonadament la funció f de manera que f (x) siga la despesa de la tanca, i indiqueu entre quins valors pot variar x (1,3 punts).
2. Calculeu raonadament el valor de x per al qual la funció f (x) aconsegueix el valor mínim (2punts).

Problema 3

Les notes de Filosofia i de Literatura del 7 alumnes d'una classe, mostrades per columnes, són les següents:

Filosofia	3	6	7	5	8	4	8
Literatura	5	8	7	7	9	5	5

1. Calculeu el valor mitjà i la desviació típica de les notes de Filosofia i de les notes de Literatura (1,3 punts).
2. Obteniu el coeficient de correlació entre les notes de Filosofia i de Literatura i expliqueu-ne el significat (0,7 punts).
3. En prescindir de l'última columna, el coeficient de correlació és 0,9. Expliqueu detalladament per què és més alt que l'obtingut en l'apartat b). (1,3 punts).

Problema 4

En l'espai R³ considerem el punt P = ( 3 , 2 , 2 ) i la recta r intersecció dels plans d'equacions: x + 3y - 4z = 0 y x + 2y - 2z = 1. Calculeu:

1. La distància d del punt P fins a la recta r (1,3 punts).
2. Els punts M i N de la recta r que complisquen que la seua distància al punt P és √5 d (1,3 punts).
3. L'àrea del triangle amb vèrtexs P, M, i N (0,7 punts).

---

Exercici B

Problema 1

Tenim les matrius quadrades reals d'ordre 2, P = [ [ 1 , 2 ] , [ 2 , 3 ] ] i Q = [ [ 2 , 0 ] , [ 0 , 3 ] ].

Calculeu:

1. La matriu P^-1 (1,1 punts).
2. La matriu real quadrada X d'ordre 2, tal que P^-1 XP = Q (1,1 punts).
3. La matriu (PQP^-1)² (1,1 punts).

Problema 2

1. Representeu la superficie S limitada entre l'eix OX i la corba y = x² - 4, quan -2 ≤ x ≤ 2. Indiqueu raonadament, mitjançant una integral, l'àrea de la superfície S (1,6 punts).
2. Calculeu el volum del cos generat en donar un gir complet al voltant de l'eix OX la superfície S considerada en l'apartat anterior, i indiqueu com heu obtingut el volum (1,7 punts).

Problema 3

La mitjana de pes d'un grup de 500 estudiants és 68,5 quilos i la desviació típica és de 10 quilos.

Si suposem que els pesos segueixen una distribució normal, es demana:

1. Quants estudiants pesen entre 48 i 71 quilos? (1punt).
2. Quants estudiants pesen més de 91 quilos? (1punt).
3. Si triem 5 alumnes a l'atzar, quina és la probabilitat que exactament 2 d'aquests pesen més de 75 quilos? (1,3 punts).

Problema 4

Tenim que π i π ' són els plans de l'espai R³, determinats de la manera següent:

El pla π passa pels punts ( 0 , 2 , 1 ) , ( 3 , -1 , 1 ) i ( 1 , -1 , 5 ), i el pla π' passa pels punts ( 3 , 0 , 2 ), ( 2 , 1 , 1 ) i ( 5 , 4 , -2 ).

Calculeu:

1. Una equació paramètrica de la recta r intersecció dels plans π i π' (1,3 punts).
2. L'angle α que formen els plans π i π' (0,7 punts).
3. L'equació del pla que conté la recta r i forma un angle de 90 graus amb el pla π (1,3 punts).