Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Si tenim les matrius reals: A = [[5 , 8] , [9 , 4]], B = [[1 , 1 , -1] , [2 , -3 , 2]], C = [[2 , -1] , [-3 , 2] , [1 , 4]], D = [[3 , 7] , [1 , 2]], es demana que:

1. Calculeu la matriu M = A - 2·B·C. (1 punt).
2. Justifiqueu que existeix la matriu D^-1 inversa de D i que la calculeu. (0,9 punts).
3. Calculeu les matrius X, Y que compleixen D·X = M = Y·D. (1,4 punts).

Problema 2

L'estatura dels ciutadans adults d'una gran ciutat segueix una distribució normal de mitjana 1,70 i desviació típica 0,20.

1. Se selecciona a l'atzar un ciutadà. Obteniu raonadament quina és la probabilitat que la seua estatura siga superior a 1,95. (1,5 punts).
2. Se selecciona a l'atzar un altre ciutadà entre els de talla superior a 1,65. Obteniu raonadament la probabilitat que la seua estatura siga superior a 1,95. (1,8 punts).

Problema 3

Considerem els plans π₁: x + y - 6 = 0 ; π₂: 2x + 4y + λz + 2 = 0 on λ és un paràmetre real. Es demana que:

1. Determineu les equacions paramètriques de la recta intersecció dels plans π₁ i π₂ quan λ = 4 (1,5 punts).
2. Calculeu raonadament λ perquè els plans π₁ i π₂ es tallen formant un angle de 45º (1,8 punts).

Problema 4

Si f(x) = x³ + ax² + bx + c , trobeu a, b, c sabent que f arriba a un màxim en x = -4 i a un mínim en x = 0 i que f(1) = 1.

---

Exercici B

Problema 1

Si tenim el sistema d'equacions lineals: { x + y + z = λ ; 2x + 3y + 5z = 2 ; 3x + 5y + λ²z = 1 }, dependent del paràmetre λ, es demana que:

1. Determineu per a quins valors de λ el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat i incompatible. (1,3 punts).
2. Obteniu el conjunt S de les solucions del sistema per al cas compatible indeterminat. (1 punt).
3. Obteniu el vector de S ortogonal (perpendicular) al vector (1 , 1 , 2). (1 punt).

Problema 2

Si tenim el pla definit per l'equació π: 8x - 4y + z = 3, trobeu:

1. L'equació de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P(1 , -3 , 7), expressada com la intersecció de dos plans. (1 punt).
2. La distància del punt P al pla π. (0,8 punts).
3. Les equacions dels plans que disten 3 unitats del pla π. (1,5 punts).

Problema 3

Un agent comercial aconsegueix, per terme mitjà, vendre els seus productes al 40% dels clients que visita. Selecciona a l'atzar cinc dels seus clients per visitar-los un dia. Obteniu raonadament:

1. La probabilitat que no venga els seus productes a cap dels cinc clients. (1,1 punts).
2. La probabilitat que venga els seus productes sols a dos d'aquests cinc clients. (1,1 punts).
3. La probabilitat que venga els seus productes sols a quatre d'aquests cinc clients. (1,1 punts).

Problema 4

Calculeu, raonadament, l'àrea de la regió limitada per les corbes y = x² e y = 2/(1+x²).