Exercici A
Problema 1
Donada la matriu A = [[0 , 1 , 2] , [0 , 0 , 3] , [0 , 0 , 0]], calculeu
les matrius A2, A3, A4 i A5.
Obteniu raonadament la matriu An per a n > 5.
Problema 2
El punt P(x,y) recorre la corba y = x2. Utilitzant raonadament
el càlcul de derivades, calculeu la posició del punt P per a la qual la seua
distància al punt (0, -4) és mínima.
Problema 3
Considerem un paral·lelepípede de bases ABCD i EFGH, sent A = (1 , 1 , 1),
B = (2 , 1 , 1), C = (2 , 4 , 1) i E = (1 , 2 , 7). Calculeu l'àrea d'una de
les bases, el volum del paral·lelepípede i la distància entre les bases.
Problema 4
Considereu les dades relatives al tant per cent d'interés
x aplicat en certes entitats financeres i el tant per cent
d'atur y en certs anys.
Com és usual, cada columna correspon a les dades d'un any.
| x |
18 |
16 |
14 |
12 |
10 |
8 |
6 |
4 |
| y |
25 |
25 |
21 |
20 |
19 |
16 |
14 |
13 |
Expliqueu com s'obtindria la proporció d'atur esperat si el tant per cent
d'interés aplicat per les entitats financieres fóra del 2%. Calculeu aquesta
proporció d'atur esperada.
Calculeu quin es el percentatge d'augment o de disminució de l'atur si el
tant per cent de l'interés augmentara en un 1%, i expliqueu que s'ha
utilitzat per a fer càlcul.
Exercici B
Problema 1
Calculeu la distància des del punt (0 , 0 , 10) al plànol que passa pels
punts (0 , 0 , 1), (4 , 2 , 7) i (4 , 0 , 3).
Problema 2
Esbrineu per a quins valors de λ té una única solució el sistema {x
+ y + z = 1 ; x + 2y + 3z = 3 ; 3x + 4y + λz = λ} i obteniu
raonadament per a quins valors de λ el sistema té infinites
solucions.
Doneu el significat geomètric del fet que el sistema tinga infinites
solucions, i recordeu que cada una de les equacions del sistema representa un
plànol.
Problema 3
El pes d'una població segueix una distribució normal de mitjana 70 quilos
i de desviació típica de 5 quilos.
Determineu raonadament quina és la probabilitat que un individu elegit a
l'atzar pese més de 75 quilos.
Calculeu la probabilitat que un individu elegit a l'atzar pese més de 80
quilos.
Si s'elegeix a l'atzar un individu entre els que pesen més de 75 quilos,
quina és la probabilitat que pese més de 80 quilos?
Problema 4
La gràfica de la corba y = x·cos x, quan 0 ≤ x ≤ π/2,
i l'eix OX limiten una superfície. Determineu l'àrea d'aquesta superfície.
Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis
universitaris