Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Las bases de un paralelepípedo son ABCD y EFGH, donde A = (2 , 3 , 1), B = (4 , 3 , 1), C = (2 , 7 , 1) y E = (8 , 0 , 0). Se pide:

1. Coordenadas de D, F, G y H.
2. Volumen del paralelepípedo.
3. Altura del paralelepípedo.

Problema 2

Un punto material recorre la parábola y² = 8x - 9. Determinar razonadamente en qué posición la distancia del punto al origen (0,0) es mínima.

Problema 3

Juan sabe que sus amigos no acuden a veces a sus invitaciones, y ha estimado que la probabilidad de que uno de sus amigos acuda a una invitación suya es 0,8. Por ello para su cumpleaños invitó a 10 amigos, pero sólo preparó 8 cubiertos.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 8 amigos?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten 8 amigos?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten más de 8 amigos?
4. Justifica cuánto suman las tres probabilidades obtenidas.

Priblema 4

Una matriz cuadrada A verifica que A² + 3A = I, siendo I la matriz unidad. Halla razonadamente el valor de la incógnita x en la ecuación A^-1 = A + x I.

Obtén la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema { x + y = 4 ; x - y = 2 } y resuelve el sistema utilizando esa matriz inversa.

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Ejercicio B

Problema 1

Deduce razonadamente en qué casos los planos π₁ y π₂ son o no paralelos:

1. π₁: x - y + 2z = 8 ; π₂: 2x - 2y + 3z = 16
2. π₁: x - y + 2z = 8 ; π₂: 2x - 2y + 4z = 8
3. π₁: x - y + 2z = 8 ; π₂: 2x - 2y + 4z = 16

Calcula la distancia entre π₁ y π₂ cuando sean paralelos.

Problema 2

Justifica que la ecuación de una circunferencia de centro (0,0) y radio 5 es x² + y² = 25. Deduce el volumen de la figura limitada por la superficie que genera esa circunferencia cuando gira una vuelta completa alrededor del eje OX.

Problema 3

Un estudio sociológico proporcionó la siguiente tabla:

Nivel de estudios	1	2	3	4	5
Salario medio	100	250	400	450	700

Calcula el coeficiente de correlación lineal entre el nivel de estudios y el salario medio, y, en función del valor obtenido, explica si se puede considerar que el salario medio está bastante determinado por el nivel de estudios (1 = estudios primarios, 2 = estudios secundarios, 3 = formación profesional, 4 = técnicos de grado medio, 5 = técnicos superiores, 6 = doctores).

Deduce el salario medio esperado para el nivel de estudios 6.

Problema 4

Resuelve el sistema { x + y + z = 2 ; 2x + z = 2 ; 4x + 2z = 4 }. Supongamos que S es el conjunto de soluciones obtenido, y que:

• S₁ es el conjunto de soluciones de x + y + z = 2.
• S₂ es el conjunto de soluciones de 2x + z = 2
• S₃ es el conjunto de soluciones de 4x + 2z = 4

Razona cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

1. S₁ ∩ S₂⊂ S₃
2. S₂ = S₃
3. S₂ ∩ S₃ ⊂ S
4. S₁ ∩ S₃ = S