Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Suposem que el sistema de referència OXYZ té l'eix OZ vertical i el pla OXY és horitzontal. Es considera la vareta vertical d'extrems A = (2 , 1 , 0) i B = (2 , 1 , 12). En dos moments determinats del dia l'ombra que projecta A sobre el pla XOY coincideix amb els punts (7 , 0 , 0) i (0 , 6 , 0).

Obteniu:

1. Equacions de la recta que descriu l'ombra d'A al llarg del dia.
2. Calculeu la longitud més curta de l'ombra al llarg del dia.

Problema 2

Una partícula recorre la corba y = -x² +10t - 25 de forma que al temps t ocupa la posició x = t i y = -t² +10t - 25. En arribar a l'instant t = 5 segons escapa per la tangent a la corba recorrent deu unitats de longitud cada segon en la direcció positiva de l'eix OX, és a dir cap a la dreta.

Calcula la posició de la partícula a l'instant 15 segons.

Problema 3

El salari setmanal i la despesa en electricitat de 6 persones en milers de pessetes és:

Salari setmanal	4	6	8	10	12	20
Despesa electricitat	0,2	0,3	0,5	0,9	1	0,9

Obteniu la recta de regressió de les despeses en electricitat en funció del salari setmanal. Calculeu la despesa en electricitat per a un salari setmanal de 15 milers de pessetes.

Problema 4

Resoleu el sistema només quan tinga infinites solucions. En eixe cas interpreteu geomètricament el significat de cada equació i del sistema. { x + y +z = 7 ; -x + 2y +z = 5 ; 2x - y +az = 2 }

---

Exercici B

Problema 1

Trobeu el vèrtex C del triangle ABC on A = (4 , 3), B(12 , 9), i considerats que els costats AC i BC tenen la mateixa longitud i que la seua àrea és 25.

Problema 2

Es divideix un fil d'aram de longitud 100 en dos trossos. Amb un d'ells es forma un triangle equilàter i amb el segon un quadrat. Determineu les longituds d'eixos trossos per a que la suma de les àrees del triangle i del quadrat siga màxima.

Problema 3

Les qualificacions de cert examen han seguit una distribució normal amb mitjana 6 i desviació típica 0,5. Si se seleccionen dos alumnes a l'atzar, calculeu:

1. La probabilitat de que els dos hagen obtingut qualificacions inferiors a 5.
2. La probabilitat de que els dos hajen obtingun qualificacions superiors a 6,75.
3. La probabilitat de un haja obtingut calificació inferior a 5 i l'altre haja obtingut qualificació superior a 6,75.
4. Sumeu les tres probabilitats anteriors i justifiqueu el resultat de la suma.

Problema 4

Siga A una matriu que verifica A² + A = 0 on 0 és la matriu nul·la. Demostreu que la matriu A és regular i obteniu una expresió senzilla de la seua inversa A^-1 en funció de la matriu A i de la matriu identitat I.

Calculeu la inversa de la matriu de los coeficients del sistema { 2x + y = 1 ; x - y = 2 }

Resoleu l'anterior sistema d'equacions amb la matriu inversa calculada.